从简谐振子开始：一篇物理笔记

简谐振子是学习物理时最早遇到的模型之一。这篇示例笔记从运动方程出发，整理通解与能量守恒的关系。

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1. 从运动方程出发

设质量为 $m$ 的质点受到线性回复力 $F=-kx$，其中 $k>0$。牛顿第二定律给出

$$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-kx.$$

定义角频率 $\omega_0=\sqrt{k/m}$，则运动方程写成

$$\ddot{x}+\omega_0^2x=0.$$

在给定初始条件 $x(0)=x_0$、$\dot{x}(0)=v_0$ 后，解为

$$x(t)=x_0\cos(\omega_0t)+\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t).$$

这也可以写成 $x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)$，其中振幅和相位由初始条件确定。

2. 能量为何守恒？

振子的机械能由动能与势能组成：

$$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2}+\frac{1}{2}kx^2.$$

对时间求导，并代入运动方程：

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} &=m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x} \\ &=\dot{x}\left(m\ddot{x}+kx\right) \\ &=0. \end{aligned}$$

因此，系统的能量在运动过程中保持不变。取 $v_0=0$，便有 $E=\tfrac12kx_0^2$。

图 1：归一化位移随时间作余弦变化，图中以角频率为 1 的情形示意。

3. 再检验几种数学排版

积分与求和

高斯积分和几何级数分别为

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}},\qquad \alpha>0,$$ $$\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r},\qquad |r|<1.$$

矩阵

令状态向量为 $(x,\dot{x})^{\mathsf T}$，二阶方程可写为一阶方程组：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{pmatrix}x\\\dot{x}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-\omega_0^2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\dot{x}\end{pmatrix}.$$

多行推导与窄屏阅读

较长的表达式可以用 aligned 换行。若公式仍宽于手机屏幕，可以在公式区域横向滑动：

$$\underbrace{\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\sin^2(\omega_0t+\varphi)}_{\text{kinetic energy}} +\underbrace{\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0t+\varphi)}_{\text{potential energy}} =\frac{1}{2}kA^2\left[\sin^2(\omega_0t+\varphi)+\cos^2(\omega_0t+\varphi)\right] =\frac{1}{2}kA^2.$$

4. 继续思考

• 若加入与速度成正比的阻力，能量将如何变化？
• 当回复力不再与位移成正比时，周期是否依赖振幅？
• 数值积分时，怎样判断能量误差是否可以接受？

写笔记时，可以从一个明确的问题开始，保留必要的推导，再记录尚未解决的疑问。